Question

（2013•樂山模擬）如圖甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分別為B、P、D，且三個(gè)垂足在同一直線上，我們把這樣的圖形叫“三垂圖”．

（1）證明：AB•CD=PB•PD．
（2）如圖乙，也是一個(gè)“三垂圖”，上述結(jié)論成立嗎？請(qǐng)說明理由．
（3）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)（0，-3），頂點(diǎn)為P，如圖丙所示，若Q是拋物線上異于A、B、P的點(diǎn)，使得∠QAP=90°，求Q點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式整理即可得證；
（2）與（1）的證明思路相同；
（3）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再過點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，然后求出PC、AC的長，再根據(jù)（2）的結(jié)論求出OD的長，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：（1）證明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴

AB

PD

=

PB

CD

，
∴AB•CD=PB•PD；

（2）AB•CD=PB•PD仍然成立．
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴

AB

PD

=

PB

CD

，
∴AB•CD=PB•PD；

（3）設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），與y軸交于點(diǎn)（0，-3），
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
所以，y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4），
過點(diǎn)P作PC⊥x軸于C，設(shè)AQ與y軸相交于D，
則AO=1，AC=1+1=2，PC=4，
根據(jù)（2）的結(jié)論，AO•AC=OD•PC，
∴1×2=OD•4，
解得OD=

1

2

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，

1

2

），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=0 b= 1 2

，
解得

k= 1 2 b= 1 2

，
所以，y=

1

2

x+

1

2

，
聯(lián)立

y= 1 2 x+ 1 2 y=x2-2x-3

，
解得

x1= 7 2 y1= 9 4

，

x2=-1 y2=0

（為點(diǎn)A坐標(biāo)，舍去），
所以，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（

7

2

，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，綜合題，但難度不大，根據(jù)同角的余角相等求出兩個(gè)角相等得到兩三角形相似是解題的關(guān)鍵．