Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm．動點P、Q同時從A點出發，點P沿線段AB→BC→CD的方向運動，速度為2cm/s；點Q沿線段AD的方向運動，速度為1cm/s．當P、Q其中一點先到達終點D時，另一點也隨之停止運動．設運動時間為t（s），△APQ的面積為S（cm²）．
（1）當點P在線段AB上運動時，是否存在某個t的值使∠CQP=60°？通過計算說明；
（2）當點P在CD上時，是否存在某個t的值使PQ=AQ？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；
（3）試探究：點P在整個運動過程中，當t取何值時，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）若假設存在某個t的值使∠CQP=60°，則過 B作BE⊥AD于E，CF⊥ADAD于F，可證明△CDQ∽△AQP，利用相似的性質得到對應邊的比值相等，建立關于t的方程，從而求出t，再求出t的取值范圍，看是否滿足題意即可；
（2）過點C作CE⊥AD于點E，構造直角三角形PDF和PFQ，利用已知條件和勾股定理建立建立關于t的方程，從而求出t的值；
（3）要根據點P在不同的時間段，即t的不同取值分三種情況進行分類討論．
解答：解：（1）不存在，
過B作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，
∵AD=8cm，BC=2cm，AB=CD=6cm，
∴AE=DF=3cm，
∴cosA===，
∴∠A=∠D=60°，
若∠CQP=60°，則∠CQD+∠AQP=120°，
∵∠DCQ+∠CQD=120°，
∴∠DCQ=∠AQP，
∴△CDQ∽△AQP，
∴=，
∵AP=2t AQ=tDQ=8-t，
∴=，
∴t₁=0，t_2⁼-4，
∵點P在線段AB上運動
∴0＜t＜3
∴不存在某個t的值使∠CQP=60°．

（2）存在，過點P作PF⊥AD于F，
∵PD=14-2t，
∴PF=PD•sinD=（14-2t）•．
∴DF²=PD²-PF²=（14-2t）²-（-t+7）²
又∵FQ=8-AQ-DF
∴PQ²=PF²+FQ²
∴t=
∴當點P在CD上時，存在某個t的值使PQ=AQ．

（3）當點P在線段CD上（不與D點重合）時，4≤t＜7．
過點P作PF⊥AD于F，如圖．
∵PD=14-2t，
∴PF=PD•sinD=（14-2t）•．
∴S=（4≤t＜7）．
①∵當0＜t≤3時．S=．
由函數圖象可知，S隨t的增大而增大，
∴當t=3時，S_最大=；
②當3≤t≤4時，S=．
由函數圖象可知，S隨t的增大而增大，
∴當t=4時，S_最大=6；
③當4≤t＜7時，S=．
由函數圖象知，S隨t的增大而減小，
∴當t=4時，S_最大=6．（13分）
綜上所述，在整個運動過程中，當t=4時，S的值最大．
點評：本題考查了等腰梯形的性質和二次函數的最值，還利用了解直角三角形的有關知識．注意處理第（3）小題要分三種情況討論．