Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，過A、C、D三點的圓O交AB于點E，連接DE、CE，∠BCE＝∠CDE．

（1）求證：直線BC為圓O的切線；

（2）猜想AD與CE的數量關系，并說明理由；

（3）若BC＝2，∠BCE＝30°，求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝EC，理由見解析；（3）

【解析】

（1）作直徑CH，連接EH，根據圓周角定理可證明∠ECH+∠EHC＝90°，∠EDC＝∠EHC，然后證明∠BCH＝90°即可；

（2）猜想：AD＝CE，根據平行四邊形的性質得到∠AED＝∠CDE，然后證明即可；

（3）根據平行四邊形的性質求出∠BCE＝∠CDE＝∠AED＝30°，然后可得∠AOD＝60°，證明△AOD是等邊三角形即可解決問題；

（1）證明：作直徑CH，連接EH．

∵CH是直徑，

∴∠CEH＝90°，

∴∠ECH+∠EHC＝90°，

∵∠BCE＝∠EDC，∠EDC＝∠EHC，

∴∠BCE+∠ECH＝90°，

∴∠BCH＝90°，

∴BC⊥CH，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：猜想：AD＝EC．

理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AE∥CD，

∴∠AED＝∠CDE，

∴，

∴AD＝EC；

（3）解：連接OA，OD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC＝AD＝2，AB∥DC，

∴∠AED＝∠CDE，

∴∠BCE＝∠CDE＝∠AED＝30°，

∴∠AOD＝2∠AED＝60°，

∵OA＝OD，

∴△AOD是等邊三角形，

∴OA＝OD＝AD＝2，

∴S陰＝S扇形OAD﹣S△AOD

＝

＝．