Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=2，OC=3.

(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若點(diǎn)D(2，2)是拋物線上一點(diǎn)，那么在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP的周長最短？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)求出△ABC外接圓心M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)y=x2+x+3；(2)存在，P坐標(biāo)為(，)；(3)圓心坐標(biāo)：M(，).

【解析】

（1）根據(jù)OA、OC的長即可求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式即可；

（2）連接BD、AD，AD交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接BP，要使△BDP的周長最短，故只需使BP+DP最小即可，此時(shí)BP+DP=AP+DP=AD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，故P為所求的點(diǎn)，利用待定系數(shù)法和對(duì)稱軸公式分別求出直線AD的解析式及拋物線的對(duì)稱軸，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)三角形的外接圓圓心為三邊中垂線的交點(diǎn)，故M在拋物線對(duì)稱軸上，可設(shè)M的坐標(biāo)為(，a)，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)之間的距離公式和MA=MB，列方程即可.

(1)∵OA=2，OC=3，

∴A(2，0)，C(0，3)，代入拋物線解析式

得：c=3，2 2b+3=0，

解得：b=，c=3，

則拋物線解析式為y=x2+x+3

(2)存在，連接BD、AD，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連接BP，要使△BDP的周長最短，故只需使BP+DP最小即可，此時(shí)BP+DP=AP+DP=AD，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，故P為所求的點(diǎn)，

設(shè)直線AD解析式為y=mx+n(m≠0)， 把A(2,0),D(2,2)代入得：

解得：m=，n=1，

∴直線AD解析式為y=x+1，

∵對(duì)稱軸為直線，

當(dāng)x=時(shí)，y=，則P坐標(biāo)為(，).

(3)由題意可知：M在直線x=上， 且MA=MC，

設(shè)M(，a)

∴，

∴

解得：a=

圓心坐標(biāo)M：(，)