Question

2．如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為$\frac{4}{9}$a²．

Answer 1

分析 過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，△EPM≌△EQN，利用四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．

解答 解：過E作EP⊥BC于點P，EQ⊥CD于點Q，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，
又∵∠EPM=∠EQN=90°，
∴∠PEQ=90°，
∴∠PEM+∠MEQ=90°，
∵三角形FEG是直角三角形，
∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，
∴∠PEM=∠NEQ，
∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，
∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，
在△EPM和△EQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PEM=∠NEQ}\\{EP=EQ}\\{∠EPM=∠EQN}\end{array}\right.$，
∴△EPM≌△EQN（ASA）
∴S_△EQN=S_△EPM，
∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，
∵正方形ABCD的邊長為a，
∴AC=$\sqrt{2}$a，
∵EC=2AE，
∴EC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a，
∴EP=PC=$\frac{2}{3}$a，
∴正方形PCQE的面積=$\frac{2}{3}$a×$\frac{2}{3}$a=$\frac{4}{9}$a²，
∴四邊形EMCN的面積=$\frac{4}{9}$a²，
故答案為：$\frac{4}{9}$a²．

點評 本題主要考查了正方形的性質及全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN．