Question

（2012•青羊區(qū)一模）如圖，分別以兩個(gè)彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系（C、F兩點(diǎn)在x軸正半軸上）．若⊙P過(guò)A、B、E三點(diǎn)（圓心P在x軸上），拋物線y=

1

8

x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為G，正方形CDEF的面積為4．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的解析式；
（3）設(shè)直線AC與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是此對(duì)稱軸上不與點(diǎn)N重合的一動(dòng)點(diǎn)．
①求△ACQ周長(zhǎng)的最小值；
②設(shè)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為t，△ACQ的面積為S，直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出相應(yīng)的t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC=n，由正方形CDEF的面積為4，可得CD=CF=2，根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知：OP=PC=n，由PB=PE，根據(jù)勾股定理即可求得n的值，繼而求得B的坐標(biāo)；
（2）由（1）知A（0，4），C（4，0），即可求得拋物線的解析式；
（3）①如圖乙，延長(zhǎng)AB交拋物線于A′，連CA′交對(duì)稱軸x=6于Q，連AQ，則有AQ=A′Q，△ACQ周長(zhǎng)的最小值為AC+A′C的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求得△ACQ周長(zhǎng)的最小值；
②分別當(dāng)Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí)，當(dāng)Q點(diǎn)在N點(diǎn)下方時(shí)去分析即可求得答案．

解答：解：（1）如圖，連接PE、PB，設(shè)PC=n，
由正方形CDEF的面積為4，可得CD=CF=2，
根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性知，OP=PC=n，
由PB=PE，根據(jù)勾股定理，得
PB²=BC²+PC²=4n²+n²=5n²，
PE²=PF²+EF²=（n+2）²+4，即5n²=（n+2）²+4
解得n₁=2或n₂=-1（舍去）．
∴BC=OC=4，
故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4）；
（2）由（1）A（0，4），C（4，0），
∵拋物線y=

1

8

x²+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，
∴

4=c 0= 1 8 ×42+4b+c

 解得

c=4 b=- 3 2

，．
∴拋物線的解析式為y=

1

8

x²-

3

2

x+4；
（3）①如圖，延長(zhǎng)AB交拋物線于點(diǎn)A′，連接CA′交對(duì)稱軸x=6于點(diǎn)Q，連接AQ，則有AQ=A′Q．△ACQ周長(zhǎng)的最小值為AC+A′C的長(zhǎng)．
利用勾股定理，在Rt△AOC中，AC=

AO2+OC2

=4

2

，
在Rt△A′BC中，A′C=

A′B2+BC2

=4

5

，
即△ACQ周長(zhǎng)的最小值為4

2

+4

5

；
②直線AC的解析式為x+y-4=0，當(dāng)x=6時(shí)，y=-2，由于點(diǎn)Q與N不重合，
∴t≠-2，
當(dāng)t＞-2時(shí)，
Q點(diǎn)在F點(diǎn)上方時(shí)，S=S_梯形ACFK-S_△AKQ-S_△CFQ=

1

2

×（6+2）×2-

1

2

×（4-t）×6-

1

2

×t×2=2t-4，
同理，當(dāng)t＜-2時(shí)可得：當(dāng)Q點(diǎn)在線段FN上時(shí)，S=-2t-4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，題目難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想、分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．