Question

如圖，在半徑為6，圓心角為90°的扇形OAB的上，有一個動點P，PH⊥OA，垂足為H，△OPH的重心為G．
（1）設PH=x，S_△PGH=y，求y關于x的函數解析式；
（2）△PGH的面積是否有最大值？如果有，求出最大面積，并求出此時PH的長度；如果沒有，請說明理由；
（3）如果△PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題的關鍵是要掌握三角形重心的概念，三角形重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1；結合等高三角形的面積比等于底邊的比，可得出S_△PGH=S_△POH=S_△POH，因此只需求出三角形POH的面積即可．
（2）根據（1）得出的函數的性質可求得S的最大值．
（3）本題要分三種情況：
①PG=GH，此時PD=HE，三角形PDO和OEH全等，OP=OH，此時P、H、A重合，因此PH=0，顯然不合題意．
②PG=PH，PG=PH=x，PD=x，可在直角三角形PHD中，用勾股定理求出x的值．
③PH=GH，由于HE是直角三角形斜邊上的中線，因此HE=OP=3，因此HG=PH=2．
解答：解：（1）延長PG交OH于點D，
∵PG：GD=2：1，
∴S_△PGH=S_△POH=S_△POH
由勾股定理得OH==
∴y=×PH•OH=x（0＜x＜6）；

（2）∵y²=x²（36-x²）（0＜x＜6），
令t=x²，則y²=t（36-t）=-t²+t（0＜t＜36），是關于t的二次函數，
當t=18時，y²取最小值為9，
此時y=3，x=3，即當PH=時，△PGH有大面積3；

（3）延長HG交OP于點E，則HE=OP=3，
∴HG=HE=2，
又∵DH=OH=，
∴DP===，
∴PH=DP=（0＜x＜6），△PGH為等腰三角形，有三種可能情況：
1、GP=PH，即=x解得x=；
2、GP=GH，即=2解得x=0，不合；
3、PH=GH，即x=2
綜上，若PH為2或時，△PGH為等腰三角形．
點評：本題主要考查了三角形、圓和二次函數的相關知識，（1）題弄清三角形重心的定義和性質是解題的關鍵，（3）在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要分類求解．