Question

如圖，在半徑為6cm的圓中，弦AB長6

3

cm，試求弦AB所對的圓周角的度數．

Answer 1

分析：設弦AB在優弧上所對的圓周角為∠P，劣弧上所對的圓周角為∠P′，連接OA，OB，過O點作OC⊥AB，垂足為C，由垂徑定理可知AC=

1

2

AB=3

3

，解直角三角形得∠AOC的度數，由垂徑定理可知，∠AOB=2∠AOC，由圓周角定理得∠P=

1

2

∠AOB，利用∠P與∠P′的互余關系求∠P′．

解答：解：如圖，設弦AB在優弧上所對的圓周角為∠P，劣弧上所對的圓周角為∠P′，
連接OA，OB，過O點作OC⊥AB，垂足為C，
由垂徑定理，得AC=

1

2

AB=3

3

，
在Rt△AOC中，OA=6，sin∠AOC=

AC

OA

=

3 3

6

=

3

2

，
解得∠AOC=60°，
所以，∠AOB=2∠AOC=120°，
根據圓周角定理，得∠P=

1

2

∠AOB=60°，
又APBP′為圓內接四邊形，
所以，∠P′=180°-∠P=120°，
故弦AB所對的圓周角的度數為60°或120°

點評：本題考查了垂徑定理，解直角三角形的運用．關鍵是連接半徑，將問題轉化到直角三角形中，解直角三角形求圓心角，再求圓周角，注意弦所對的圓周角有兩個，它們互補．