Question

如圖，地上有一圓柱，在圓柱下底面的A點處有一螞蟻，它想沿圓柱表面爬行．吃到上底面上與A點相對的B點處的食物（π的近似值取3，以下同）．
（1）當圓柱的高h=12厘米，底面半徑r=3厘米時，螞蟻沿側面爬行時最短路程是多少；
（2）當圓柱的高h=3厘米，底面半徑r=3厘米時，螞蟻沿側面爬行也可沿AC到上底面爬行時最短路程是多少；
（3）探究：當圓柱的高為h，圓柱底面半徑為r時，螞蟻怎樣爬行的路程最短，路程最短為多少？

Answer 1

將圓柱體展開，連接AB，
∵底面半徑r=3厘米，
∴CB=

1

2

×2π×3=3π≈9厘米，
∵圓柱的高h=12厘米，即AC=12厘米，
∴AB=

AC2+CB2

=

122+92

=15厘米．
答：螞蟻沿側面爬行時最短路程是15厘米．
（2）當螞蟻沿側面爬行同（1）的方法：
∵AC=3，

BC

=3π≈9，
∴AB=

90

=3

10

．
當螞蟻沿AC到上底面，再沿直徑CB爬行，有AC+BC=3+6=9．
因為

90

＞9，
所以最短路程是經AC到上底面，再沿直徑CB爬行的總路程為9．
（3）在側面，沿AB爬行時，S₁=

h2+π2r2

，沿AC再經過直徑CB時，
則S₂=h+2r．
當S₁=S₂時，

h2+π2r2

=h+2r．
整理，得4h=（π²-4）r，由于π取3，
所以4h≈5r．
當h≈

5

4

r時，兩種爬行路程一樣．
當S₁＞S₂時，

h2+π2r2

＞h+2r，整理，得4h＜（π²-4）r
當π取3時，有h＜

5

4

r，所以當h＜

5

4

r時，沿AC再經過直徑CB到點B時所走路程最短．
同理，當h＞

5

4

r時，沿側面AB走路程最短．
當h＜

5

4

r時，沿AC到CB走路程最短為h+2r．
當h＜

5

4

r時，沿側面AB走或沿AC到CB走路程一樣長為

h2+9r2

或h+2r．
當h＜

5

4

r時，沿側面AB走路程最短為

h2+9r2

．
當h＜

5

4

r時，沿AC到CB走路程最短為h+2r．