Question

將兩張寬度相等的矩形紙片疊放在一起得到如圖所示的四邊形ABCD。
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果兩張矩形紙片的長都是8，寬都是2．那么菱形ABCD的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖1，因為AD∥BC，AB∥DC， 所以四邊形ABCD為平行四邊形， 分別過點B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分別為點E、F， 則BE=CF， 因為∠DAB=∠BAF， 所以Rt△DAB≌Rt△BAF， 所以AD=AB， 所以四邊形ABCD為菱形； （2）存在最小值和最大值， ①當∠DAB=90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8； ②當AC為矩形紙片的對角線時，設AB=x，如圖2， 在Rt△BCG中，，， 所以周長最大值為17。