Question

將兩張寬度相等的矩形紙片疊放在一起得到如圖所示的四邊形ABCD．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）如果兩張矩形紙片的長都是8，寬都是2．那么菱形ABCD的周長是否存在最大值或最小值？如果存在，請求出來；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形的性質可判定四邊形ABCD是平行四邊形，作平行四邊形ABCD的對角線AC，DB，又DE=BF，所以Rt△DAF≌Rt△ABE，得AD=AB，所以四邊形ABCD為菱形；
（2）由題意可判斷，當∠DAB=90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8．當AC為矩形紙片的對角線時，周長最大值為17．
解答：（1）證明：如圖，∵AD∥BC，DC∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
分別過點A、D作AE⊥BC于E，DF⊥AB于F．
∵兩張矩形紙片的寬度相等，
∴AE=DF，
又∵AE•BC=DF•AB=S_?ABCD，
∴BC=AB，
∴?ABCD是菱形；

（2）解：存在最小值和最大值．（7分）
①當∠DAB=90°時，菱形ABCD為正方形，周長最小值為8；（8分）
②當AC為矩形紙片的對角線時，設AB=x．如圖，
在Rt△BCG中，BC²=CG²+BG²，
即x²=（8-x）²+2²，x=．
∴周長最大值為×4=17．（9分）
點評：本題考查了菱形的判定，及運用矩形，菱形的性質進行綜合運算的能力．