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13.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,DB∥AF,對角線AC,BD相交于點E.
(1)△ADE和△BCE的面積分別是4cm2和9cm2,求△ACF的面積;
(2)設△ADE,△BCE的面積分別是S1,S2,你能用S1和S2來表示梯形ABCD的面積S嗎?

分析 (1)過A作AH⊥CF于H,根據已知條件得到四邊形AFBD是平行四邊形,由平行四邊形的性質得到BF=AD,通過△ADE∽△BCE,得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=($\frac{AE}{CE}$)2=$\frac{4}{9}$,于是得到$\frac{AE}{CE}$=$\frac{2}{3}$,求得S△CDE=6,S△ABE=6,即可得到結論;
(2)由于AD∥BC,得到△ADE∽△BCE,根據相似三角形的性質得到$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=($\frac{AE}{CE}$)2=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$,求得$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$,證得S△CDE=$\frac{{S}_{1}\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{{S}_{1}}}$,S△ABE=$\frac{{S}_{2}\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$,即可得到結論.

解答 解:(1)過A作AH⊥CF于H,
∵AD∥BC,DB∥AF,
∴四邊形AFBD是平行四邊形,
∴BF=AD,
∵AD∥BC,
∴△ADE∽△BCE,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=($\frac{AE}{CE}$)2=$\frac{4}{9}$,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{2}{3}$,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{2}{3}$,
∴S△CDE=6,S△ABE=6,
∴S梯形ABCD=$\frac{1}{2}$(AD+BC)•AH=4+6+6+9=25,
∴S△ACF=$\frac{1}{2}$(BF+BC)•AH=25;

(2)∵AD∥BC,
∴△ADE∽△BCE,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△BCE}}$=($\frac{AE}{CE}$)2=$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$,
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$,
∴$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△BCE}}$=$\frac{\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$,
∴S△CDE=$\frac{{S}_{1}\sqrt{{S}_{2}}}{\sqrt{{S}_{1}}}$,S△ABE=$\frac{{S}_{2}\sqrt{{S}_{1}}}{\sqrt{{S}_{2}}}$,
∴S梯形ABCD=S△ADE+S△CDE+S△ABE+S△BCE=S1+S2+$\frac{\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}}{{S}_{1}}$S1+$\frac{\sqrt{{S}_{1}{S}_{2}}}{{S}_{2}}$S2

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質,梯形的性質,平行四邊形的判定和性質,圖形的面積的計算,熟練掌握梯形的性質是解題的關鍵.

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