Question

如圖①，OP是∠AOB的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：
（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；
（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，你在（1）中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

解：在OP上任找一點E，過E分別做CE⊥OA于C，ED⊥OB于D，可得△OEC≌△OED，如圖①，
（1）結論為EF=FD．
如圖②，在AC上截取AG=AE，連接FG．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
在△AEF與△AGF中，
∴△AEF≌△AGF（SAS）．
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG．
由∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∵2∠2+2∠3+∠B=180°，
∴∠2+∠3=60°．
又∵∠AFE為△AFC的外角，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°．
∴∠CFG=60°．
即∠GFC=∠DFC，
在△CFG與△CFD中，
∴△CFG≌△CFD（ASA）．
∴FG=FD．
∴FE=FD．

（2）EF=FD仍然成立．
如圖③，
過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H．
∴∠FGE=∠FHD=90°，
∵∠B=60°，且AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，
∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的內心
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1，
∵F是△ABC的內心，即F在∠ABC的角平分線上，
∴FG=FH（角平分線上的點到角的兩邊相等）．
又∵∠HDF=∠B+∠1（外角的性質），
∴∠GEF=∠HDF．
在△EGF與△DHF中，，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．
分析：根據要求作圖，此處我們可以分別做兩邊的垂線，這樣就可以利用AAS來判定其全等了．
先利用SAS來判定△AEF≌△AGF．得出∠AFE=∠AFG，FE=FG．再利用ASA來判定△CFG≌△CFD得到FG=FD所以FE=FD．
點評：此題考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS，HL等．