Question

如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，O是AB的中點，OP⊥AB交AC于點P．
（1）證明線段AO、OB、OP中，任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度；
（2）過線段OB（包括端點）上任一點M，作MN⊥AB交AC于點N．如果要使線段AM、MB、MN中任意兩條線段長度之和大于第三條線段的長度，那么請求出線段AM的長度的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用相似三角形的性質求得個線段的長即可；
（2）根據相似三角形的性質得比例式，列不等式即可求得．

解答：解：（1）∵∠B=90°，OP⊥AB，
∴∠AOP=∠B=90°，
∴△AOP∽△ABC．∴

OP

AO

=

BC

AB

∵AB=4，BC=3，O是AB的中點．
∴

OP

2

=

3

4

∴OP=

3

2

∵OP=

3

2

＜AO=OB=2，且

3

2

+2＞2．
∴OP+AB＞OB
即AO，BO，OP中，任意兩條線段的長度之和大于第三條線段的長度．
∵∠B=90°，OP⊥AB
∴OP∥BC
∵O是AB的中點，
∴OP是△ABC的中位線．
∴OP=

1

2

BC
∵BC=3
∴OP=

3

2

；

（2）當M在OB上時，設AM=x（2≤x≤4）
則MB=4-x，
∵△AMN∽△ABC
∴

MN

AM

=

BC

AB

∴MN=

BC•AM

AB

=

3

4

x
又MN＜AM，MB＜AM
∴MN+MB＞AM，
∴

3

4

x+（4-x）＞x
∴x＜

16

5

∴AM的取值范圍為2≤AM＜

16

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、三角形三邊關系，此題難度較大，解題要細心．