Question

探索問題：（1）比較下列數(shù)的大小：

2

3

 

3

4

，

5

13

 

9

17

，

14

23

 

19

28

．
（2）根據(jù)上述規(guī)律，可以得出下面的結(jié)論：一個(gè)真分?jǐn)?shù)

a

b

（a、b均為正數(shù)），給其分子、分母同加上一個(gè)正數(shù)m，得

a+m

b+m

，則這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系是：

a

b

 

a+m

b+m

．
（3）請(qǐng)你用文字?jǐn)⑹觯?）中的結(jié)論：

 

；
（4）請(qǐng)你用圖形的面積說明（2）中結(jié)論的正確性．
（5）請(qǐng)你用已學(xué)的其他數(shù)學(xué)知識(shí)說明（2）中結(jié)論的正確性．
（6）這個(gè)結(jié)論可以解釋生活中的許多現(xiàn)象，解決生活中許多與數(shù)學(xué)有關(guān)的問題．請(qǐng)你再提出一個(gè)類似的數(shù)學(xué)問題，或舉出一個(gè)生活中與此結(jié)論相關(guān)的例子．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于第一問的分式大小比較，通過通分比較大小；
（2）根據(jù)第一問的解找出規(guī)律：

a

b

＜

a+m

b+m

求解第二問；
（3）用文字描述第二問得到的規(guī)律，兩正數(shù)的比值小于他們同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)的比值；
（4）分別以a，b為邊長(zhǎng)作矩形，又延長(zhǎng)a，b同樣長(zhǎng)m，得三矩形面積分別為：ab，am，bm，然后根據(jù)長(zhǎng)方形的面積比較兩數(shù)大小；
（5）利用通分比較兩式的大小；
（6）利用生活中的糖水的濃度問題來比較兩式大小．

解答：解：（1）通過分母通分得到分母相同的分式，然后比較分子大小得出結(jié)果．
∴

2

3

＜

3

4

，

5

13

＜

9

17

，

14

23

＜

19

28

；

（2）有第一問的結(jié)果可得出規(guī)律：分子分母同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)比值變大．
所以：

a

b

＜

a+m

b+m

；

（3）兩正數(shù)的比值小于他們同時(shí)加上一個(gè)正數(shù)的比值；

（4）如圖
矩形BEFG和矩形ABCD，
∵a＜b，
∴am＜bm，
∴am+ab＜bm+ab，
即a（m+b）＜b（m+a），
∴

a

b

＜

a+m

b+m

；

（5）將兩分式統(tǒng)分得分母為b（b+m），分子分別為a（b+m），
b（a+m）分子相減得（a-b）m，
由于

a

b

是真分式，
則a＜b，
所以（a-b）m小于0，即

a

b

＜

a+m

b+m

；


（6）一杯糖水共b克，里面含有a克糖，糖的濃度為

a

b

，然后往里放m克糖，
糖的濃度為：

a+m

b+m

，
放入糖后糖水變的更甜了，
所以加入糖后糖的濃度變大了，
所以

a

b

＜

a+m

b+m

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)開放性試題，對(duì)于學(xué)生的要求比較高，首先根據(jù)第一問得出規(guī)律，然后用不同的方法證明次推論的正確性．本題意在考查用不同的方式比較兩分式的大小，考查學(xué)生的發(fā)散思維．