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探索問題：（1）比較下列數的大小： $數學公式$ $數學公式$ ， $數學公式$ $數學公式$ ， $數學公式$ $數學公式$ ．
（2）根據上述規律，可以得出下面的結論：一個真分數 $數學公式$ （a、b均為正數），給其分子、分母同加上一個正數m，得 $數學公式$ ，則這兩個分數的大小關系是： $數學公式$ $數學公式$ ．
（3）請你用文字敘述（2）中的結論：__；
（4）請你用圖形的面積說明（2）中結論的正確性．
（5）請你用已學的其他數學知識說明（2）中結論的正確性．
（6）這個結論可以解釋生活中的許多現象，解決生活中許多與數學有關的問題．請你再提出一個類似的數學問題，或舉出一個生活中與此結論相關的例子．

解：（1）通過分母通分得到分母相同的分式，然后比較分子大小得出結果．
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

（2）有第一問的結果可得出規律：分子分母同時加上一個正數比值變大．
所以： $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；

（3）兩正數的比值小于他們同時加上一個正數的比值；

（4）如圖

矩形BEFG和矩形ABCD，
∵a＜b，
∴am＜bm，
∴am+ab＜bm+ab，
即a（m+b）＜b（m+a），
∴ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；

（5）將兩分式統分得分母為b（b+m），分子分別為a（b+m），
b（a+m）分子相減得（a-b）m，
由于 $\text{[math]}$ 是真分式，
則a＜b，
所以（a-b）m小于0，即 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ；

（6）一杯糖水共b克，里面含有a克糖，糖的濃度為 $\text{[math]}$ ，然后往里放m克糖，
糖的濃度為： $\text{[math]}$ ，
放入糖后糖水變的更甜了，
所以加入糖后糖的濃度變大了，
所以 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）對于第一問的分式大小比較，通過通分比較大小；
（2）根據第一問的解找出規律： $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 求解第二問；
（3）用文字描述第二問得到的規律，兩正數的比值小于他們同時加上一個正數的比值；
（4）分別以a，b為邊長作矩形，又延長a，b同樣長m，得三矩形面積分別為：ab，am，bm，然后根據長方形的面積比較兩數大小；
（5）利用通分比較兩式的大小；
（6）利用生活中的糖水的濃度問題來比較兩式大小．
點評：此題是一個開放性試題，對于學生的要求比較高，首先根據第一問得出規律，然后用不同的方法證明次推論的正確性．本題意在考查用不同的方式比較兩分式的大小，考查學生的發散思維．

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，

．
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（a、b均為正數），給其分子、分母同加上一個正數m，得

a+m

b+m

，則這兩個分數的大小關系是：

a+m

b+m

．
（3）請你用文字敘述（2）中的結論：

；
（4）請你用圖形的面積說明（2）中結論的正確性．
（5）請你用已學的其他數學知識說明（2）中結論的正確性．
（6）這個結論可以解釋生活中的許多現象，解決生活中許多與數學有關的問題．請你再提出一個類似的數學問題，或舉出一個生活中與此結論相關的例子．

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科目：初中數學 來源： 題型：

在數學學習過程中，通常是利用已有的知識與經驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發現數學規律，揭示研究對象的本質特征．
比如“同底數冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數的乘方概念和乘法結合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的：2²×2³=2⁵，2³×2⁴=2⁷，2²×2⁶=2⁸，…?2^m×2ⁿ=2^m+n，…?a^m×aⁿ=a^m+n（m、n都是正整數）．
探索問題：
（1）比較下列各組數據的大小：
①

＜

2+1

3+1

，②

＜

2+2

3+2

，③

＜

2+3

3+3

，④

＜

2+4

3+4

，…．
（2）請你根據上面的材料歸納出a、b、c（a＞b＞0，c＞0）之間的一個數學關系式；并用已學的數學知識說明你發現結論的正確性．
（3）試用（2）中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”．

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科目：初中數學 來源：2011-2012學年廣東鹽步中學八年級下學期月考數學試卷（帶解析） 題型：解答題

在數學學習過程中，通常是利用已有的知識與經驗，通過對研究對象進行觀察、實驗、推理、抽象概括，發現數學規律，揭示研究對象的本質特征。
比如“同底數冪的乘法法則”的學習過程是利用有理數的乘方概念和乘法結合律，由“特殊”到“一般”進行抽象概括的： 2²×2³＝2⁵，2³×2⁴＝2⁷，2²×2⁶＝2⁸，…
2^m×2ⁿ＝2^m⁺ⁿ，…a^m×aⁿ＝a^m⁺ⁿ(m、n都是正整數)。探索問題：
（1）比較下列各組數據的大小：
① ， ② ， ③ ， ④ ，…。
(2)請你根據上面的材料歸納出a、b、c(a＞b＞0，c＞0)之間的一個數學關系式；并用已學的數學知識說明你發現結論的正確性.
(3)試用(2)中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖(仍不飽和)，則糖水更甜了”；