Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝4，BC＝4，∠D＝30°，點E是BC邊的中點，F是射線BA上一動點，將△BEF沿直線EF折疊，得到△PEF，連接PC，當△PCE為等邊三角形時，BF的長為_____．

Answer 1

【答案】3或6

【解析】

分兩種情況：當P點在EC的上方和下方時，由等邊三角形的性質與直角三角形的性質分別求出BF的值即可．

當點P在EC的上方時，如圖1，

則EF⊥BP，BE＝PE，

∴∠PBE＝∠BPE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠D＝30°，

∴∠ABC＝∠D＝30°，

∵△PCE是等邊三角形，

∴∠PEC＝60°，

∵∠PEC＝∠PBE+∠BPE，

∴∠PBE＝30°，

∴∠ABC＝∠PBC＝30°，

∴B、F、A、P在同一直線上，

∴BF＝BEcos30°＝=3.

當點P在CE下方P′處時，如圖2，連接BP′，

則EF′⊥BP′，BE＝EP′，

∵△P′CE是等邊三角形，

∴∠P′EC＝60°，

∵∠P′EC＝∠P′BE+∠BP′E，

∴∠P′BE＝30°，

∴BQ＝BEcos30°＝2=3，

∠ABP′＝60°，

∴BF′＝=6，

故答案為：3或6．