Question

（2012•禪城區(qū)模擬）已知函數(shù)f(x)=1+

2

x

，其中f（a）表示當(dāng)x=a時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即f(a)=1+

2

a

．
（1）求f（10）；
（2）計(jì)算f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值；
（3）如果f（a）-f（a+1）=1，試求a的值．

Answer 1

分析：（1）將x=10代入f（x）解析式中計(jì)算，即可得到f（10）的值；
（2）將f（x）解析式通分并利用同分母分式的加法法則化簡(jiǎn)，列舉出f（1），f（2），…，f（100），約分后計(jì)算即可得到結(jié)果；
（3）表示出f（a）與f（a+1），代入已知的等式中，得到關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：f（10）=1+

2

10

=1

1

5

；

（2）∵f（x）=1+

2

x

=

x+2

x

，
∴f（1）•f（2）•f（3）…f（100）
=

3

1

×

4

2

×

5

3

…×

100

98

×

101

99

×

102

100

=

101×102

2

=5151；

（3）∵f（a）=1+

2

a

，f（a+1）=1+

2

a+1

，且f（a）-f（a+1）=1，
∴1+

2

a

-（1+

2

a+1

）=1，即

2

a

-

2

a+1

=1，
去分母得：2（a+1）-2a=a（a+1），即a²+a-2=0，
分解因式得：（a-1）（a+2）=0，
解得：a=1或a=-2，
經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意，
則a的值為1或-2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了分式的混合運(yùn)算，分式的加減運(yùn)算關(guān)鍵是通分，通分的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母；分式的乘除運(yùn)算關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式，約分時(shí)分式的分子分母出現(xiàn)多項(xiàng)式，應(yīng)將多項(xiàng)式分解因式后再約分．