Question

已知：矩形ABCD中，AB=1，點M在對角線AC上，直線l過點M且與AC垂直，與AD相交于點E．
（1）如果直線l與邊BC相交于點H（如圖1）AM=AC且AD=a，求的AE長（用含a的代數式表示）；
（2）在（1）中，直線l把矩形分成兩部分的面積比為2：5，求a的值；
（3）若AM=AC，且直線l經過點B（如圖2），求AD的長；
（4）如果直線l分別與邊AD，AB相交于點E，F，AM=AC，設AD的長為x，△AEF的面積為y，求y與x的函數關系式，并指出x的取值范圍（求x的取值范圍可不寫過程）．

Answer 1

解：
（1）在直角三角形ACD中，根據勾股定理有：AC²=AD²+DC²=a²+1
∵∠AME=∠D=90°，∠EAM=∠CAD
∴△AME∽△ADC，
∴，
∴AE=，
∵AM=AC，
∴AE=；

（2）∵AE∥BC，
∴△AEM∽△CHM，
∴，
∵，
∴=，即CH=2AE=，
∴BH=a-CH=，
∴=，
∴a²=，即a=；

（3）設AE=x，
∵AE∥BC，
∴=，
∵=，即=，
∴=，
設AE=x，則BC=3x，AC=，
∵△AME∽△ADC，
∴，
由于AM=AC，AD=BC，
∴x•3x=（1+9x²），
∴x=，
∴AD=BC=3x=；

（4）由題意可知：，，
∵△AEM∽△ACD
∴=，∴AE=，
同理可得出=，
∴AF=，
則S_△AEF=AE•AF=（≤x≤）．
分析：（1）可先用勾股定理求出AC的長，然后根據相似三角形AME和ADC得出的關于AE，AC，AM，AD的比例關系式求出AE的長；
（2）由于梯形AEHB和梯形EDCH的高相等，因此它們的面積比就是兩底和的比．可根據相似三角形AME和CMH得出AE，CH的比例關系，然后用AE表示出CH，BH，進而可根據面積比為2：5得出關于a的方程，即可求出a的值；
（3）可先設AE的長為x，那么可在相似三角形AEM和CMB中得出AE，BC的比例關系，然后用x表示出BC即AD的長，在相似三角形AEM和ACD中，根據AE，AC，AM，AD的比例關系式求出x的值，進而可求出AD的長；
（4）求三角形AEF的面積需要求出AE，AF的長，可在相似三角形AEM和ACD中，根據得出的關于AE，AC，AM，AD的比例關系式求出AE的表達式，同理可通過相似三角形AMF和ABC求出AF的表達式，然后根據三角形的面積公式即可得出y，x的函數關系式．根據（3）中求出的AE，AD的長，要想使直線l與AB，AD有交點，那么x的取值范圍就應該是≤x≤．
點評：本題主要考查了矩形的性質和相似三角形的判定及性質等知識點，根據相似三角形得出的相關線段成比例來求線段的長是解題的關鍵．