Question

已知x≠1，計算（1-x）（1-x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴．
（1）觀察以上各式并猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

（n為正整數）；
（2）根據你的猜想計算：（1-2）（1+2+2²+2³+…+2⁹⁹）=

1-2¹⁰⁰

；
（3）利用猜想，計算：2+2²+2³+…+2ⁿ．

Answer 1

分析：（1）根據上述一系列等式得到：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）結果為1減去2的n+1次冪；
（2）令x=2代入計算即可得到結果；
（3）先計算（1-2）（1+2+2²+…+2ⁿ）的值，變形后即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）歸納總結得：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；

（2）（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=1-x¹⁰⁰，
令x=2，得到（1-2）（1+2+2²+2³+…+2⁹⁹）=1-2¹⁰⁰；

（3）∵（1-2）（1+2+2²+…+2ⁿ）=1-2ⁿ⁺¹，
∴2+2²+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2．
故答案為：（1）1-xⁿ⁺¹；（2）1-2¹⁰⁰；

點評：此題考查了整式混合運算的應用，找出其中的規律是解本題的關鍵．