Question

如圖，邊長為1的正方形OABC的頂點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上.動點D在線段BC上移動(不與B，C重合)，連接OD，過點D作DE⊥OD，交邊AB于點E，連接OE．記CD的長為t．

(1)當t＝時，求直線DE的函數表達式；

(2)如果記梯形COEB的面積為S，那么是否存在S的最大值？若存在，請求出這個最大值及此時t的值；若不存在，請說明理由；

(3)當OD²＋DE²的算術平方根取最小值時，求點E的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)易知△∽△， 　　所以，即，得＝， 　　則點的坐標為． 　　設直線的一次函數表達式為，直線經過兩點D和， 　　代入得， 　　故所求直線的函數表達式為＝ 　　(2)存在S的最大值． 　　求最大值：易知△∽△，所以，即， 　　； 　　 　　故當t＝時，S有最大值． 　　(3)在Rt△中，的算術平方根取最小值，也就是斜邊取最小值． 　　當斜邊取最小值且一直角邊為定值時，另一直角邊達到最小值， 　　于是△的面積達到最小值， 　　此時，梯形的面積達到最大值 　　由(2)知，當＝時，梯形的面積達到最大值，故所求點的坐標是． 　　注：(3)小題的另一種解法：＝，猜想當＝時，取最小值． 　　運用計算器可以驗證猜想是正確的，此時點的坐標是