Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAE=∠ABC= 90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，EF⊥AB于點F，EF交BD于點G。設AD=a，BC =b。
求CD的長度（用a，b表示）；
求EG的長度（用a，b表示）；
試判斷EG與FG是否相等，并說明理由。

Answer 1

解：（1）∵∠DAE=∠ABC= 90°，∴DA⊥AB，CB⊥AB。
又∵AB為⊙O的直徑，∴DA、CB為⊙O的切線。
又∵CD是⊙O的切線，AD=a，BC =b，
∴DE= AD=a，CE=" BC" =b（切線長定理）。∴CD= DE＋CE= a＋b。
（2）∵EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB。∴△DEG∽△DCB。
∴，即。∴。
（3）相等。理由如下：
∵EF⊥AB，CB⊥AB，DA⊥AB，∴DA∥EF∥CB。
∴，且△BGF∽△BDA。∴，即。∴。
∴EG=FG。

切線的判定和性質，切線長定理，平行的判定和性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質。
【分析】（1）由已知可得DA、CB和CD都要為⊙O的切線，根據(jù)切線長定理即可得出結果。
（2）由EF⊥AB，CB⊥AB 可得EF∥CB，從而根據(jù)相似三角形的判定和性質可求得EG的長度。
（3）由DA∥EF∥CB，根據(jù)平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定和性質可求得FG的長度，與EG的長度比較即可得出結論。