Question

已知在斜邊長為10的Rt△ABC中，∠C=90°，兩條直角邊長a，b分別是方程x²-mx+3m+6=0的兩個根．
（1）求m的值；（2）求兩個銳角的正弦值．

Answer 1

分析：先根據一元二次方程的根與系數的關系和勾股定理求m的值，再利用銳角三角函數的概念求兩個銳角的正弦值．

解答：解：（1）∵a，b是方程x²-mx+3m+6=0的兩個根，
∴a+b=m，ab=3m+6，
∵a²+b²=c²，∴（a+b）²-2ab=10²，
∴m²-6m-112=0，∴m₁=-8，m₂=14．
又∵a+b=m＞0，∴m=14．

（2）原方程可化為x²-14x+48=0，
∴x₁=8，x₂=6．
當a=6，b=8，c=10時，
sinA=

3

5

，sinB=

4

5

，
當a=8，b=6，c=10時，
sinA=

4

5

，sinB=

3

5

．

點評：本題是一元二次方程與銳角三角函數相結合的題，在中考是常見的題型，考查了邏輯推理能力和運算能力．