Question

如圖，B是線段AC上一點，△ABD與△BCE均為等邊三角形．
（1）求證：AE=CD；
（2）若△BCE'與△BCE關于直線AC軸對稱，AE'與CD還相等嗎？畫出圖形．若相等，請給出證明；若不相等，說明理由；
（3）AE'與BD相交于點F，CD與BE'相交于點G，連接FG，試判斷△FBG的形狀，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）易證△ABE≌△DBC，即可證得AE=CD；
（2）易知點E和E′關于直線AC軸對稱，則可得AE=AE′，即可得出；
（3）由AE=DC，得∠EAD=∠CDA，則∠BAE=∠BDC，又∠BAE=∠BAE′，則可得∠BAE′=∠BDC，易得∠DBG=60°，易證△ABF≌△DBG，則可得FB=GB，所以，可得△FBG為等邊三角形；

解答：證明：（1）∵△ABD與△BCE均為等邊三角形，
∴在△ABE和△DBC中，

AB=DB ∠ABE=∠DBC BE=BC

，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD；

（2）∵△BCE'與△BCE關于直線AC軸對稱，
∴點E和E′關于直線AC軸對稱，
∴AE=AE′，又AE=AE′，
∴AE'=CD；

（3）∵△ABD與△BCE′均為等邊三角形，
∴∠ABD=∠CBE′=60°，
∴∠DBE′=60°，
∵AE=DC，
∴∠EAD=∠CDA，
∴∠BAE=∠BDC，又∠BAE=∠BAE′，
∴∠BAE′=∠BDC，
在△ABF和△DBG中，

∠BAF=∠BDG AB=DB ∠ABF=∠DBG

，
∴△ABF≌△DBG，
∴BF=BG，
∴△FBG為等邊三角形．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質和軸對稱圖形的性質，注意正確畫出圖形，培養了學生綜合運用知識解決問題的能力．