Question

24、如圖，B是線段AC上一點，△ABD和△BCE均為等邊三角形．
（1）求證：AE=CD．
（2）若△BCE與△BCE′關于直線AC軸對稱，A E′與CD還相等嗎？用尺規畫出圖形，若相等，請給出證明，若不相等請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知，△ABD和△BCE均為等邊三角形，得BE=BC，AB=BD，∠ABD=∠CBE=60°可得∠DBC=∠ABE，推出△ABE≌△DBC得證．
（2）先用尺規畫出圖形，由等邊三角形證明△ABE^′≌△CBD．

解答：證：（1）∵△ABD和△BCE均為等邊三角形
∴∠ABD=∠CBE=60^o，BE=BC，AB=BD
∴∠DBC=∠ABE=180^o-60^o=120^o
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD．

（2）尺規作圖如圖
∵△ABD與△BCE'均為等邊三角形
∴∠ABD=∠CBE'=60^o
AB=BD，BC=BE'
∴∠ABD=∠CBE'=60^o
AB=BD，BC=BE'
∴∠ABE'=∠ABD+∠DBE'
=∠CBE'+∠DBE'
=∠CBD
∴△ABE'≌△CBD，
∴AE'=CD

點評：此題考查的知識點是等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質及軸對稱的性質．關鍵是運用等邊三角形的性質通過證明三角形全等得出．