Question

（2004•鄭州）如圖，B是線段AC上的一點，分別以AB、BC、AC為直徑作半圓．過B作BD⊥AC，與較大半圓相交于點D，以BD為直徑的圓交兩個較小半圓于E、F．
求證：（1）四邊形BEDF是矩形；（2）直線EF是以AB、BC為直徑的兩個半圓的公切線．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，進行證明；
（2）連接兩個半圓的圓心和點F，E；根據切線的判定定理進行證明；由同圓的半徑相等和等邊對等角，證明和已知的直角∠ABD相等即可．
解答：證明：（1）設圓的圓心是O．
∵OB=OD=OE=OF，
∴四邊形BEDF是矩形；

（2）設兩個半圓的圓心分別是M，N．
連接MF，NE，BF，BE．
∵MF=MB，OF=OB，
∴∠BFM=∠FBM，∠OFB=∠OBF．
∴∠MFO=∠MBO=90°．
則EF是⊙M的切線．
同理可以證明EF是⊙N的切線．
所以直線EF是以AB、BC為直徑的兩個半圓的公切線．
點評：掌握矩形的判定方法、切線的判定方法．