Question

（2013•松江區模擬）已知拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），B（4，0），P（5，3），拋物線與y軸交于點C．
（1）求二次函數的解析式；
（2）求tan∠APC的值；
（3）在拋物線上求一點Q，過Q點作x軸的垂線，垂足為H，使得∠BQH=∠APC．

Answer 1

分析：（1）因為拋物線過A（-1，0），B（4，0），P（5，3），所以把以上三個點的坐標分別代入解析式組成方程組求出a和b、c的值即可求出二次函數的解析式；
（2）設x=0，則y=-2，則可求出C點的坐標，由A（-1，0），P（5，3）可求出PA，AC，PC的長，利用勾股定理的逆定理可判定△APC是直角三角形，再由正切的定義即可求出tan∠APC的值；
（3））因為Q拋物線上，所以可設Q的坐標為（x，

1

2

x²-

3

2

x-2），如∠BQH=∠APC，則tan∠BQH=tan∠APC=

1

3

，進而得到關于x的方程，解方程求出符合題意的x值即可取出Q的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，0），B（4，0），P（5，3），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 25a+5b+c=3

，
解得：

a= 1 2 b=- 3 2 c=-2

，
故拋物線的解析式是y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）設x=0，則y=-2，
∴拋物線與y軸交于點C的坐標是（0，-2），
∵A（-1，0），P（5，3），
∴PA=3

5

，AC=

5

，PC=5

2

，
∵PA²+AC²=50，PC²=50，
∴PA²+AC²=PC²，
∴△APC是直角三角形，
∴∠PAC=90°，
∵tan∠APC=

AC

PA

=

1

3

；

（3）∵Q拋物線上，
∴設Q的坐標為（x，

1

2

x²-

3

2

x-2），
則QH=|

1

2

x²-

3

2

x-2|，OH=|x-4|，
∵∠BQH=∠APC，
∴tan∠BQH=tan∠APC=

OH

QH

=

1

3

，
即

|x-4|

| 1 2 x2- 3 2 x-2|

=

1

3

，
∴

x-4

1 2 x2- 3 2 x-2

=

1

3

或

x-4

1 2 x2- 3 2 x-2

=-

1

3

，
解得：x₁=4，x₂=5或x₁=4，x₂=-7，
∴Q（4，0）（舍），Q（5，3）（舍），Q（-7，33）．
綜上所述在拋物線上求一點Q，過Q點作x軸的垂線，垂足為H，使得∠BQH=∠APC時，Q的坐標為（-7，33）．

點評：本題考查了用待定系數法求二次函數的解析式以及二次函數的圖象和坐標軸的交點、勾股定理和其逆定理的運用、銳角三角函數的運用和一元二次方程的解得問題，其中第三小題的關鍵點是由拋物線的解析式正確的設出Q點的坐標．