Question

如果（1）所示為一上面無蓋的正方體紙盒，現將其剪開展成平面圖，如圖（2）所示已知展開圖中每個正方形的邊長為1．
（1）求在該展開圖中可畫出的最長線段的長度？這樣的線段可以畫幾條？
（2）求∠B′A′C′的度數？說明理由．
（3）在圖1中若螞蟻從點A′沿著正方體的表面爬行到點C，試求爬行的最短路程．

Answer 1

分析：（1）根據圖形得出符合條件的線段有4條，根據勾股定理求出線段的長即可；
（2）連接B′C′，根據已知正方體得出∠A′B′F=∠C′B′F=45°，A′B′=B′C′，推出△A′B′C′是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質求出即可；
（3）畫出圖形，連接A′C，根據勾股定理求出A′C的長即可．

解答：解：（1）如圖2，AH=1+1+1=3，CH=1，
即最長線段AC的長度是：

32+12

=

10

，這樣的線段可以畫4條，如圖（2）線段EB′、線段FM、線段A′C′、線段GH；且線段的長度都是

10

；

（2）連接B′C′，
由圖形可知：∠A′B′E=∠C′B′E=45°，A′B′=B′C′=

5

，
∴∠A′B′C′=90°，
即△A′B′C′是等腰直角三角形，
∴∠B′A′C′=45°；

（3）如圖所示展開：連接A′C，則線段A′C的長就是螞蟻從點A′沿著正方體的表面爬行到點C的最短路程，
在Rt△A′C′C中，A′C′=1+1=2，C′C=1，∠A′C′C=90°，
由勾股定理得：A′C=

22+12

=

5

．

點評：本題考查了平面展開-最短路線問題和勾股定理，等腰直角三角形的性質的綜合運用，關鍵是能正確畫出圖形，題目比較典型，有一定的難度．