Question

如圖所示，一根長(zhǎng)2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時(shí)OB的距離為0.7米，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的頂端A沿墻下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移動(dòng)多少距離？
（2）請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由．
（3）在木棍滑動(dòng)的過程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形ABC中，已知AB，BC根據(jù)勾股定理即可求AO的長(zhǎng)度，根據(jù)AO=AC+OC即可求得OC的長(zhǎng)度，在直角三角形CDO中，已知AB=CD，CO即可求得OD的長(zhǎng)度，根據(jù)BD=OD-OB即可求得BD的長(zhǎng)度．
（2）木棍滑動(dòng)的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離不會(huì)變化．根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷；
（3）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)，△AOB的面積最大，就可以求出．

解答：解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，
則AO=

2.52- 0.72

m=2.4m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD為斜邊，
∴OD=

(CD)2-(OC)2

=1.5m，
∴據(jù)BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；

（2）不變．
理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因?yàn)樾边匒B不變，所以斜邊上的中線OP不變；

（3）當(dāng)△AOB的斜邊上的高h(yuǎn)等于中線OP時(shí)面積最大．
如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，
故根據(jù)三角形面積公式，有h與OP相等時(shí)△AOB的面積最大，
此時(shí)，S_△AOB=

1

2

AB•h=

1

2

×2.5×1.25=1.5625．
所以△AOB的最大面積為1.5625m²．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用了在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；同時(shí)理解△AOB的面積什么情況最大是解決本題的關(guān)鍵．