Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與軸交于點(diǎn)C（0，-3），頂點(diǎn)為D．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）聯(lián)結(jié)AC，BC，求∠ACB的正切值．

（3）點(diǎn)P是x軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使得△PBD與△CAB相似，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)N在軸，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（1，-4）；（2）2；（3）P（，0）或P（－3，0）；（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數(shù)法，把B、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求解；

（2）作AH⊥BC于點(diǎn)H，通過(guò)與x軸的交點(diǎn)y=0構(gòu)成方程，解方程可得A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后解直角三角形可求解；

（3）作DG⊥OB于點(diǎn)G ，tan∠DBG=tan∠ACB，可得∠DBG=∠ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)和判定討論得到P點(diǎn)在在點(diǎn)B的左側(cè)，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可；

（4）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x2-2x-3），然后根據(jù)A、C點(diǎn)和M的坐標(biāo)，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)與判定求出N點(diǎn)的坐標(biāo)即可.

試題解析：（1）y=x2-2x-3

D（1，-4）

（2）作AH⊥BC于點(diǎn)H

x2-2x-3=0

解得x=-1或x=3

所以A點(diǎn)為（-1，0）

∵ OB=OC，∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∵AB=4

∴AH=BH=2

∵BC=3

∴CH=

∴tan∠ACB=2

（3）作DG⊥OB于點(diǎn)G

∵BG=2，DG=4

∴tan∠DBG=2

∵tan∠ACB=2

∴∠DBG=∠ACB

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，∠PBD＞90°，△PBD是鈍角三角形與△CAB不相似，

所以點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè).

∵△PBD與△CAB相似，且∠DBG=∠ACB

∴ 或

∵BD=2

∴BP=或BP=6

∴P（-，0）或P（-3，0）

（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．