Question

8．如圖，將矩形紙片ABCD沿EF折疊（點E、F分別在邊AB、CD上），使點A落在邊BC的中點M處，點D落在點N處，MN與CD相交于點P，連接EP，若AB=2AD=4，則PE=$\frac{289}{120}$．

Answer 1

分析 由翻折的性質可知AE=EM，設BE=x，則ME=4-x，在Rt△EBM中，由勾股定理可求得BE的長，然后再證明△△EBM∽△MCP，由相似三角形的性質可求得PC的長，然后取EP的中點Q，從而可知QM是梯形EBCP的中位線，從而可求得QM的長，最后在Rt△EMP中，依據直角三角形斜邊上中線的性質求解即可．

解答 解：取EP的中點Q，連接MQ．

由翻折的性質可知AE=EM．
設BE=x，則AE=ME=4-x．
在Rt△EBM中，EM²=BE²+MB²，即（4-x）²=x²+1²．
解得：x=$\frac{15}{8}$．
∴BE=$\frac{15}{8}$．
由翻折的性質可知∠EMP=∠A=90°，
∴∠EMB+∠PMC=90°．
又∵∠BEM+∠EMB=90°，
∴∠PMC=∠BEM．
又∵∠B=∠C，
∴△△EBM∽△MCP．
∴$\frac{EB}{MC}=\frac{MB}{PC}$，即$\frac{\frac{15}{8}}{1}=\frac{1}{PC}$．
解得：PC=$\frac{8}{15}$．
∵QM是梯形EBCP的中位線，
∴EM+PC=2QM．
∵在Rt△EMP中，QM是斜邊EP上的中線，
∴PE=2QM=EM+PC=$\frac{15}{8}+\frac{8}{15}$=$\frac{289}{120}$．
故答案為：$\frac{289}{120}$．

點評 本題主要考查的是翻折的性質、相似三角形的性質和判定、梯形的中位線的性質、直角三角形斜邊上中線的性質證得PE=EM+PC是解題的關鍵．