Question

已知a，b都是正整數，試問關于x的方程x2-abx+

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(a+b)=0是否有兩個整數解？如果有，請把它們求出來；如果沒有，請給出證明．

Answer 1

分析：不妨設a≤b，且方程的兩個整數根為x₁，x₂（x₁≤x₂），而a，b都是正整數，根據根與系數的關系得到x₁+x₂=ab＞0，x₁x₂=

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（a+b）＞0，則如果原方程存在兩整數根，則兩根必為正整數．當a，b 中至少有一個等于1時，a+b≥ab；不妨設a=1，此時有

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（a+b）=

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（1+b）≤b=ab （當且僅當b=1時等號成立），其余情況下都有

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（a+b）＜a+b≤ab；則有（x₁-1）（x₂-1）≤1，得到x₁=1，x₂=

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（a+b），則（a-1）（b-1）=3-ab，根據整數的性質得到a=1，b=3，或a=3，b=1．即得到x₂=2．

解答：解：關于x的方程x2-abx+

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(a+b)=0有兩個整數解．
不妨設a≤b，且方程的兩個整數根為x₁，x₂（x₁≤x₂），而a，b都是正整數，
∴x₁+x₂=ab＞0，x₁x₂=

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（a+b）＞0，
∴如果原方程存在兩整數根，則兩根必為正整數．
當a，b 中至少有一個等于1時，a+b≥ab；
不妨設a=1，此時有

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（a+b）=

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（1+b）≤b=ab （當且僅當b=1時等號成立），
其余情況下都有

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（a+b）＜a+b≤ab；
∴x₁x₂≤x₁+x₂，
∴x₁x₂-x₁-x₂+1≤1，
∴（x₁-1）（x₂-1）≤1，
∴x₁=1，
∴x₂=

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（a+b），
∴1+

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（a+b）=ab，即2+a+b=2ab，
∴（a-1）（b-1）=3-ab，而a，b都是正整數，
∴3-ab≥0，
所以a=1，b=3，或a=3，b=1．
∴x₂=2，
∴a=1，b=3，一元二次方程為x²-3x+2=0，它的兩個根為x₁=1，x₂=2．

點評：本題考查了求一元二次方程的整數根的方法：利用根與系數的關系消去未知系數，得到兩整數根的關系，然后利用整數的性質求出兩整數根．