Question

（本題12分）某公司生產的一種健身產品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內、國外市場上全部售完．該公司的年產量為6千件，若在國內市場銷售，平均每件產品的利潤y1（元）與國內銷售量x（千件）的關系為：

y1=

若在國外銷售，平均每件產品的利潤y2（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系為

（1）用x的代數式表示t為：t= ；當0＜x≤4時，y2與x的函數關系為：y2= ；當 ＜x＜ 時，y2=100；

（2）當該公司在國內銷售量是國外銷量的兩倍時，問總利潤是多少？

（3）該公司每年國內、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？

 

Answer 1

（1） 6﹣x；5x+80；4，6;（2） 國內、國外的銷售量各為4千件、2千件時總利潤為64萬元;（3） 每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元．

【解析】

試題分析：（1）由該公司的年產量為6千件，每年可在國內、國外市場上全部售完，可得國內銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6﹣x；根據平均每件產品的利潤y2（元）與國外的銷售數量t（千件）的關系及t=6﹣x即可求出y2與x的函數關系：當0＜x≤4時，y2=5x+80；當4≤x＜6時，y2=100；

（2）根據總利潤=國內銷售的利潤+國外銷售的利潤，結合函數解析式，分三種情況討論：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；

（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據二次函數的性質，求出三種情況下的最大值，再比較即可．

試題解析：【解析】
（1）由題意，得x+t=6，

∴t=6﹣x；

∵，

∴當0＜x≤4時，2≤6﹣x＜6，即2≤t＜6，

此時y2與x的函數關系為：y2=﹣5（6﹣x）+110=5x+80；

當4≤x＜6時，0≤6﹣x＜2，即0≤t＜2，

此時y2=100．

（2）國內、國外的銷售量各為4千件、2千件時總利潤為64萬元.

（3）分三種情況：

①當0＜x≤2時，w=（15x+90）x+（5x+80）（6﹣x）=10x2+40x+480；

②當2＜x≤4時，w=（﹣5x+130）x+（5x+80）（6﹣x）=﹣10x2+80x+480；

③當4＜x＜6時，w=（﹣5x+130）x+100（6﹣x）=﹣5x2+30x+600；

綜上可知，w=；

當0＜x≤2時，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此時x=2時，w最大=600；

當2＜x≤4時，w=﹣10x2+80x+480=﹣10（x﹣4）2+640，此時x=4時，w最大=640；

當4＜x＜6時，w=﹣5x2+30x+600=﹣5（x﹣3）2+645，4＜x＜6時，w＜640；

∴x=4時，w最大=640．

故該公司每年國內、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元．

考點：1.利用二次函數的性質解決實際問題；2.利用一次函數解決問題.