Question

已知直線l經過A（6，0）和B（0，12）兩點，且與直線y=x交于點C．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點P（x，0）在線段OA上運動，過點P作l的平行線交直線y=x于D，求△PCD的面積S與x的函數關系式；S有最大值嗎？若有，求出當S最大時x的值；
（3）若點P（x，0）在x軸上運動，是否存在點P，使得△PCA成為等腰三角形？若存在，請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法將A（6，0）和B（0，12）代入解析式，求出即可；
（2）將兩函數解析式聯立，得出點C的坐標，再利用平行線的性質，進而求出

S

2x

=

6-x

6

，再利用二次函數最值求出即可；
（3）分別根據P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A時結合圖形求出即可．

解答：解：（1）設直線L解析式為y=kx+b，
將A（6，0）和B（0，12）代入，得：

0=6k+b 12=b

，
解得：

k=-2 b=12

，
∴直線L解析式為y=-2x+12；

（2）解方程組：

y=-2x+12 y=x

，
得：

x=4 y=4

，
∴點C的坐標為（4，4），
∴S_△COP=

1

2

x×4=2x；
∵PD∥l，
∴

CD

OC

=

AP

OA

，
而

CD

OC

=

S

S △COP

，
∴

S

S △COP

=

AP

OA

，
即

S

2x

=

6-x

6

，
∴△PCD的面積S與x的函數關系式為：
S=-

1

3

x²+2x，
∵S=-

1

3

（x-3）²+3，
∴當x=3時，S有最大值，最大值是3．

（3）存在點P，使得△PCA成為等腰三角形，
∵點C的坐標為（4，4），A（6，0），
根據P₁C=CA，P₃A=AC，P₂A=AC，P₄C=P₄A時分別求出即可，
當P₁C=CA時，P₁（2，0），
當P₂A=AC時，P₂（6-2

5

，0），
當P₃A=AC時，P₃（6+2

5

，0），
當P₄C=P₄A時，P₄（1，0），
∴點P的坐標分別為：
P₁（2，0），P₂（6-2

5

，0），P₃（6+2

5

，0），P₄（1，0）．

點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及三角形的相似的性質與判定和二次函數的最值、勾股定理等知識，題目綜合性較強，相似經常與函數綜合出現，利用數形結合得出是解決問題的關鍵．