Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于N，交BC的延長線于M，∠A=40°.

⑴求∠NMB的大小；

⑵若將圖中的∠A的度數改為70°，其余條件不變，則∠NMB= ；

⑶你發現有什么樣的規律？若將∠A改為鈍角，對這個問題規律性的認識是否需要加以修改？

Answer 1

【答案】（1）20°；（2）35°；（3）規律為：在等腰△ABC中，當AB=AC，∠A是銳角時，∠NMB的度數恰好為頂角∠A度數的一半；當∠A為鈍角時，上述規律依然成立，不需要修改.

【解析】

（1）在等腰三角形ABC中可求出∠B，然后在△BMN中根據內角和求解;

（2）解法同（1）；

（3）依照（1）（2）的解法，找出∠NMB與∠A的關系，當∠A為鈍角時，作出圖形，根據三角形內角和定理進行證明.

解：（1）∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=90°-70°=20°

（2）當∠A=70°時，如下圖所示，

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴∠NMB=90°-∠B=90°-55°=35°

（3）如圖，規律為：在等腰△ABC中，當AB=AC，∠A是銳角時，∠NMB的度數恰好為頂角∠A度數的一半，即∠NMB=∠A.

證明： ∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴

即∠NMB的大小等于頂角∠A的一半.

當∠A為鈍角時，上述規律依然成立，故不需要修改. 完整地敘述上述規律為：等腰三角形一腰上的垂直平分線與底邊或底邊的延長線相交，所成的銳角等于頂角的一半.

證明：如圖，

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴

∵MN⊥AB，

∴∠MNB=90°，

∴