Question

【題目】已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長．

（1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．

Answer 1

【答案】（1）△ABC是等腰三角形；（2）△ABC是直角三角形；（3）x1=0，x2=﹣1．

【解析】

試題分析：（1）直接將x=﹣1代入得出關于a，b的等式，進而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀；

（2）利用根的判別式進而得出關于a，b，c的等式，進而判斷△ABC的形狀；

（3）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進而代入方程求出即可．

解：（1）△ABC是等腰三角形；

理由：∵x=﹣1是方程的根，

∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，

∴a+c﹣2b+a﹣c=0，

∴a﹣b=0，

∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有兩個相等的實數根，

∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

∴4b2﹣4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）當△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為：

2ax2+2ax=0，

∴x2+x=0，

解得：x1=0，x2=﹣1．