Question

已知，矩形ABCD中，延長BC至E，使BE = BD，F為DE的中點，連結AF、CF．

（1）若AB = 3，AD = 4，求CF的長；
（2）求證：∠ADB = 2∠DAF．

Answer 1

（1）；（2）連接BF，由BE=BD，EF=DF可證得∠DBF=∠EBF，再由CF=DE=DF即可證得∠DCF=∠FDC，從而可得∠ADF=BCF，再結合AD=BC即可證得△ADF≌△BCF，再根據全等三角形的性質即可作出判斷.

解析試題分析：（1）根據矩形的性質可得，再根據個定理即可求的BD的長，從而可以求得BE、CE的長，再根據勾股定理即可求得DE的長，最后由F為DE的中點即可求得結果；
（2）連接BF，由BE=BD，EF=DF可證得∠DBF=∠EBF，再由CF=DE=DF即可證得∠DCF=∠FDC，從而可得∠ADF=BCF，再結合AD=BC即可證得△ADF≌△BCF，再根據全等三角形的性質即可作出判斷.
（1）∵因為四邊形ABCD是矩形
∴
在RT△ABD中，
∴，
∴
∵F是DE的中點
∴；
（2）連接BF

∵BE=BD，EF=DF
∴∠DBF=∠EBF
又∵CF=DE=DF
∴∠DCF=∠FDC
∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF
即∠ADF=BCF
又∵AD=BC
∴△ADF≌△BCF
∴∠DAF=∠FBC=∠DBE
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBE
∴∠ADB=2∠DAF．
考點：四邊形的綜合題
點評：此類問題綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．