Question

邊長為整數的直角三角形，若其兩直角邊長是方程x²-（k+2）x+4k=0的兩根，求k的值并確定直角三角形三邊之長．

Answer 1

解：設直角邊為a，b，（a＜b）則a+b=k+2，ab=4k，
因方程的根為整數，故其判別式為平方數，
設△=（k+2）²-16k=n²?（k-6+n）（k-6-n）=1×32=2×16=4×8，
∵k-6+n＞k-6-n，
∴或或，
解得（不是整數，舍去），k₂=15，k₃=12，
當k₂=15時，a+b=17，ab=60?a=5，b=12，c=13，
當k₃=12時，a+b=14，ab=48?a=6，b=8，c=10．
∴當k=15時，三角形三邊的長為：5，12，13．
當k=12時，三角形三邊的長為：6，8，10．
分析：根據方程的根為整數，得到根的判別式為平方數，然后進行討論求出k值，得到三角形三邊的長．
點評：本題考查的是解一元二次方程，根據直角三角形的直角邊是整數，得到方程的根是整數，所以判別式是平方數，討論求出k的值．然后求出直角三角形三邊的長．