Question

邊長(zhǎng)為整數(shù)的直角三角形，若其兩直角邊長(zhǎng)是方程x²-（k+2）x+4k=0的兩根，求k的值并確定直角三角形三邊之長(zhǎng)．

Answer 1

分析：根據(jù)方程的根為整數(shù)，得到根的判別式為平方數(shù)，然后進(jìn)行討論求出k值，得到三角形三邊的長(zhǎng)．

解答：解：設(shè)直角邊為a，b，（a＜b）則a+b=k+2，ab=4k，
因方程的根為整數(shù)，故其判別式為平方數(shù)，
設(shè)△=（k+2）²-16k=n²?（k-6+n）（k-6-n）=1×32=2×16=4×8，
∵k-6+n＞k-6-n，
∴

k-6+n=32 k-6-n=1

或

k-6+n=16 k-6-n=2

或

k-6+n=8 k-6-n=4

，
解得k1=

45

2

（不是整數(shù)，舍去），k₂=15，k₃=12，
當(dāng)k₂=15時(shí)，a+b=17，ab=60?a=5，b=12，c=13，
當(dāng)k₃=12時(shí)，a+b=14，ab=48?a=6，b=8，c=10．
∴當(dāng)k=15時(shí)，三角形三邊的長(zhǎng)為：5，12，13．
當(dāng)k=12時(shí)，三角形三邊的長(zhǎng)為：6，8，10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是解一元二次方程，根據(jù)直角三角形的直角邊是整數(shù)，得到方程的根是整數(shù)，所以判別式是平方數(shù)，討論求出k的值．然后求出直角三角形三邊的長(zhǎng)．