Question

（2013•鎮(zhèn)江）如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點D在邊AB的延長線上，BD=3，過點D作DE⊥AB，與邊AC的延長線相交于點E，以DE為直徑作⊙O交AE于點F．
（1）求⊙O的半徑及圓心O到弦EF的距離；
（2）連接CD，交⊙O于點G（如圖2）．求證：點G是CD的中點．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理求出AC，證△ACB∽△ADE，得出

BC

DE

=

AC

AD

=

AB

AE

，代入求出DE=6，AE=10，過O作OQ⊥EF于Q，證△EQO∽△EDA，代入求出OQ即可；
（2）連接EG，求出EG⊥CD，求出CE=ED，根據等腰三角形的性質求出即可．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，由勾股定理得：AC=4，
∵AB=5，BD=3，
∴AD=8，
∵∠ACB=90°，DE⊥AD，
∴∠ACB=∠ADE，
∵∠A=∠A，
∴△ACB∽△ADE，
∴

BC

DE

=

AC

AD

=

AB

AE

∴

3

DE

=

4

8

=

5

AE

∴DE=6，AE=10，
即⊙O的半徑為3；
過O作OQ⊥EF于Q，
則∠EQO=∠ADE=90°，
∵∠QEO=∠AED，
∴△EQO∽△EDA，
∴

EO

AE

=

OQ

AD

，
∴

3

10

=

OQ

8

，
∴OQ=2.4，
即圓心O到弦EF的距離是2.4；

（2）連接EG，
∵AE=10，AC=4，
∴CE=6，
∴CE=DE=6，
∵DE為直徑，
∴∠EGD=90°，
∴EG⊥CD，
∴點G為CD的中點．

點評：本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質和判定，等腰三角形性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力．