Question

17．如圖，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分別為B、D，AB=2，CD=4，BD=3．若在直線MN上存在點P，能使△PAB與△PCD相似，則PB=3或2或$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$．

Answer 1

分析 分三種情形①延長CA交MN于P₁，此時△P₁AB∽△P₁CD．②當點P₂在BD上時．③當點P₃在BD的延長線時．分別列出方程即可即可．

解答 解：如圖，

①延長CA交MN于P₁，
∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD
∴△P₁AB∽△P₁CD，
∴$\frac{{P}_{1}B}{{P}_{1}D}$=$\frac{AB}{CD}$=2，
∴P₁B=BD=3．
②當點P₂在BD上時，設P₂B=x，若△ABP₂∽△CDP₂則有$\frac{AB}{CD}$=$\frac{B{P}_{2}}{D{P}_{2}}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{x}{3-x}$，
∴x=1，
∴P₂B=2，
若△ABP₂∽△P₂DC，則有$\frac{x}{4}$=$\frac{2}{3-x}$，方程無解．
③當點P₃在BD的延長線時，∵△P₃AB∽△CP₃D，
∴$\frac{{P}_{3}B}{CD}$=$\frac{AB}{{P}_{3}D}$，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{2}{x-3}$，
∴x=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$（舍棄）
∴P₃B=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，
綜上所述，滿足條件的PB的長為3或2或$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質、一元一次方程、一元二次方程等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，把問題轉化為方程解決，屬于中考常考題型．