Question

如圖，點P是雙曲線上一動點，過點P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點，交雙曲線y= （0＜k₂＜|k₁|）于E、F兩點．
（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=_____ （用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）圖2中，設P點坐標為（-4，3）．
     ①判斷EF與AB的位置關系，并證明你的結論；
     ②記，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

（1）k₁+k₂；
（2）① EF∥AB
證明：如圖，由題意可得A（-4，0），B（0，3），， ．
    ∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．
    ∴，
     ∴．
  又∵∠APB=∠EPF．
    ∴△APB ∽△EPF，
    ∴∠PAB=∠PEF．
    ∴EF∥AB．
     ②S₂沒有最小值，
  理由如下：過E作EM⊥y軸于點M，過F作FN⊥x軸于點N，兩線交于點Q．
    由上知M（0，），N（，0），Q（，）．
    而S_△EFQ= S_△PEF，
    ∴S₂=S_△PEF-S_△OEF=S_△EFQ-S_△OEF=S_△EOM+S_△FON+S_矩形OMQN
           =
           ==．
     當時，S₂的值隨k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12． ∴0＜S₂＜24，S₂沒有最小值．