Question

已知：拋物線y=x²+mx+n與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），B（3，0），且經過C（2，-3），與y軸交于點D，
（1）求此拋物線的解析式及頂點F的坐標；
（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物于E點，求線段PE長度的最大值；
（3）在（1）的條件下，在x軸上是否存在兩個點G、H（G在H的左側），且GH=2，使得線段GF+FC+CH+HG的長度和為最小？如果存在，求出G、H的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）分別把B（3，0），C（2，-3）兩點的坐標代入y=x²+mx+n中即可確定此拋物線的解析式，然后就可以確定頂點F的坐標；
（2）本題需先根據（1）中的函數關系式得出A與D的坐標，再設出直線AC的解析式為y=kx+b，解出k、b的值，從而得出直線AC的解析式，再設P的橫坐標為x，即縱坐標為-x-1，得出PE的解析式來，最后即可求出線段PE長度的最大值．
（3）本題需先根據已知條件，設出點H和點G的坐標，再用x表示出GF²+CH²的值，即可得出線段GF+CH的長度和最小時x的值，從而求出G、H的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+mx+n與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），B（3，0），且經過C（2，-3），
∴

0=9+3m+n -3=4+2m+n

，
解之得m=-2，n=-3，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3，
∴y=x²-2x-3=y=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴F的坐標為（1，-4）；

（2）如圖，∵y=x²-2x-3=y=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴當y=0時，x=3或x=-1，對稱軸為x=1，
當x=0時，y=-3，
∴A（-1，0），D（0，-3），
設直線AC的解析式為y=kx+b，
依題意得

0=-k+b -3=2k+b

，
解之得k=-1，b=-1，
∴直線AC的解析式為y=-x-1，
設P的橫坐標為x，那么縱坐標為-x-1，
∵EP∥OD，
∴E的橫坐標為x，縱坐標為，
∵P是線段AC上的一個動點，
∴PE=-（x²-2x-3+x+1）=-x²+x+2，
∴當x=

1

2

時，PE的長度最大，線段PE長度的最大值為

4×(-1)×2-1

-4

=

9

4

；

（3）∵GH=2，CF=

(2-1)2+[-3-(-4)]2

=

2

∴GH、CF的長是定值．
∴使得線段GF+FC+CH+HG的長度和為最小，
則線段GF+CH的長度和最小．
∵設點H的坐標為（x，0），則點G的坐標為（x-2，0），
則GF²+CH²=[1-（x-2）]²+4²+（2-x）²+3²
=2x²-10x+38
∴當x=-

11

4

時，線段GF+CH的長度和最小．
G、H的坐標分別是（-

19

4

，0）（-

11

4

，0）．

點評：本題考查的是二次函數的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的平移、拋物線交點坐標與其解析式的組成的方程組的解的關系及等腰三角形的性質與判定，也利用了三角函數的定義，綜合性比較強，定義學生的能力要求比較高，平時加強訓練．