Question

【題目】如圖，中，，點在的延長線上，，于，交于點．

(1)如圖1，請寫出與的數量關系；

(2)如圖2，若平分，，求證：；

(3)在(2)的條件下，如圖3，連接，若是中點，是中點，，，，求的長．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 見解析；(3) .

【解析】

（1）根據三角形的內角和定理可得∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE，∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC，再結合已知條件即可證出結論；

（2）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理證出∠A=∠FEB，再結合（1）的結論可證∠FEB=∠DBE，根據平行線的判定證出EF∥BD，從而證出∠EFC=∠ACB=90°，再根據垂直的定義即可證出結論；

（3）連接AD、DF，根據三角形中線的性質可知S△ABF=S△BCF=2S△BCG，結合已知條件即可求出S△BCG=，再根據等高時，面積比等于底之比即可求出S△BDG=8，再根據三角形的面積公式即可求出結論．

解：（1）∠A=∠DBE，理由如下

∵

∴∠E=90°

∴∠DBE=180°－∠E－∠BDE=90°－∠BDE

∵

∴∠A=180°－∠ACB－∠ABC=90°－∠ABC

∵

∴∠A=∠DBE

（2）∵平分，

∴∠ABF=∠EBF

∵

∴∠A=180°－∠ABF－∠AFB=180°－∠EBF－∠EFB=∠FEB

由（1）知∠A=∠DBE

∴∠FEB=∠DBE

∴EF∥BD

∴∠EFC=∠ACB=90°，

∴；

（3）連接AD、DF

∵是中點，是中點，

∴S△ABF=S△BCF=2S△BCG

∵

∴S△ADF=S△ABF=3S△BCG，BC：CD==2:3

∴BC：BD=2:5

∵

∴

∴S△BCG=

∵S△BCG：S△BDG=BC：BD

即：S△BDG=2:5

解得S△BDG=8

∴BG·DE=8

∵

∴BG2=8

解得BG=4或-4（不符合實際，舍去）

即BG=4．