Question

如圖，正比例函數y=

3

2

x與二次函數y=-x²+2x+c的圖象都經過點A（2，m）．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求這個二次函數圖象頂點P的坐標和對稱軸；
（3）若二次函數圖象的對稱軸與正比例函數的圖象相交于點B，與x軸相交于點C，點Q是x軸的正半軸上的一點，如果△OBC與△OAQ相似，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）先求得m，再將點A的坐標代入二次函數y=-x²+2x+c，即可得出c，
（2）根據二次函數對稱軸和頂點坐標的求法即可得出答案；
（3）設Q（x，o）（x＞0）．當x=1時求出點B、C的坐標，再由△OBC∽△OAQ和△OBC∽△OQA時，分別求得點Q的坐標即可．

解答：解：（1）∵正比例函數y=

3

2

x與二次函數y=-x²+2x+c的圖象都經過點A（2，m）
∴m=

3

2

×2，m=3（1分）
∴A（2，3），3=-4+4+c
∴c=3（1分）
∴這個二次函數的解析式是y=-x²+2x+3（1分）

（2）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4（1分）
∴這個二次函數圖象頂點P的坐標是（1，4），對稱軸是直線x=1；（2分）

（3）設Q（x，o）（x＞0）．當x=1時，y=

3

2

x=

3

2

，
∴B(1，

3

2

)，c(1，0)（1分）
當△OBC∽△OAQ時，有

OC

OQ

=

BC

QA

，得OQ=2，Q（2，0）（2分）
當△OBC∽△OQA，有

OB

OQ

=

OC

OA

，得OQ=

13

2

，Q(

13

2

，0)（2分）
∴點Q的坐標是(2，0)，(

13

2

，0)．（1分）

點評：本題是一道二次函數的綜合題，考查了用待定系數法求二次函數的解析式、以及對稱軸和頂點坐標的求法，難度較大．