Question

如圖：在半徑是2的⊙O中，點Q為優弧MN的中點，圓心角∠MON=60°，在弧QN上有一動點P，且點P到弦MN的距離為x．
（1）求弦MN的長；
（2）試求陰影部分面積y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）設陰影部分面積為y，扇形OMN的面積為S，試分析，當自變量x在何取值范圍時，y＞S，y=S，y＜S？

Answer 1

分析：（1）根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可得出△OMN是等邊三角形，即OM=ON=MN=2；
（2）根據三角形的面積公式，即可列出y，x的函數關系式；
（3）根據等底等高的三角形的面積相等，可以過點O作OP′∥MN，以此線段為分界線進行分情況討論．

解答：解：（1）∵OM=ON，∠MON=60°，
∴△MON是等邊三角形，
∴MN=OM=ON=2；
（2）由三角形面積公式可得S_△PMN=

1

2

×2x=x，
S_弓形MN=S_扇形OMN-S_△OMN=

60π×22

360

-

3

4

×2²=

2π

3

-

3

，
則陰影部分面積y與x的函數關系式為y=S_△PMN+S_弓形MN=x+

2π

3

-

3

（0≤x≤2+

3

）；
（3）令y=S，即x+

2π

3

-

3

=

60π×22

360

=

2π

3

；
∴當x=

3

時，y=S；
當0≤x＜

3

時，y＜S；
當

3

＜x≤2+

3

，y＞S．
注：過O作OP′∥MN交⊙O上一點P′，依等積關系得：x=

3

，即可下結論．

點評：此題屬于圓的綜合題，解題思路為：若圓中的一條弦等于圓的半徑，則此弦和兩條半徑構成了等邊三角形；不規則圖形的面積一定要注意分割成規則圖形的面積進行計算；討論面積大小的時候，首先要找到面積相等的情況，再進一步分情況討論．