Question

如圖，在半徑是4的⊙O中，點Q為優弧

MN

的中點，圓心角∠MON=60°，點P在

MQ

（M點除外）上運動，設點P到弦MN的距離為x，△OMN的面積是S．
（1）求弦MN的長；
（2）試求陰影部分面積y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）試分析比較，當自變量x為何值時，陰影部分面積y與S的大小關系．

Answer 1

分析：（1）根據∠MON的度數，我們可得出三角形MON應是個等邊三角形，那么MN的長就是半徑的長．
（2）在（1）中已經求得了MN的長，又知道了P到MN的距離也就是MN上的高，那么可根據三角形的面積計算公式得出y，x的函數關系式．如果過O作OH⊥NM于H，那么x的最大值就是OH+半徑的長，那么可在直角三角形OMH中求出OH的長也就求出了x的取值范圍．
（3）先計算出三角形OMN的面積，然后根據y與S的大小關系的不同得出不同的自變量的取值范圍即可．

解答：解：（1）∵OM=ON，∠MON=60°
∴△MON是等邊三角形
∴MN=ON=4

（2）作OH⊥MN于H點，∴MH=

1

2

MN=2
y=S_△PMN=

1

2

•4x，即y=2x
在Rt△OHM中，OH²=OM²-MH²
∴OH=2

3

∴0＜x≤4+2

3

（3）△OMN的面積S=4

3

令y=s，即2x=4

3

∴x=2

3

當x=2

3

時，y=s
當0＜x＜2

3

時，y＜s
當2

3

＜x≤4+2

3

時，y＞s．

點評：本題主要考查了等邊三角形的判定，垂徑定理等知識點．