Question

2．如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，∠OAB=30°，OA=3，則陰影部分面積為9$\sqrt{3}$-3π．

Answer 1

分析 根據四邊形的內角和為360°，根據切線的性質可知：∠OAP=∠OBP=90°，求出∠AOB的度數，進一步求得∠APB的度數，然后根據陰影部分的面積等于四邊形OAPB的面積減去扇形AOB的面積即可求得．

解答 解：∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠AOB=180°-2×30°=120°，
∵PA、PB是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
∴在四邊形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．
連接OP．
根據切線長定理得∠APO=30°，
∴OP=2OA=6，AP=OP•cos30°=3$\sqrt{3}$，∠AOP=60°．
∴四邊形的面積=2S_△AOP=2×$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$；扇形的面積是$\frac{120π×{3}^{2}}{360}$=3π，
∴陰影部分的面積是9$\sqrt{3}$-3π．
故答案為9$\sqrt{3}$-3π．

點評 本題考查了切線長定理、切線的性質定理以及30°的直角三角形的性質．關鍵是熟練運用扇形的面積計算公式，能夠把四邊形的面積轉化為三角形的面積計算．．