Question

【題目】如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸相交于點A，C，與y軸相交于點B，連接AB，BC，點A的坐標為（2，0），tan∠BAO=2，以線段BC為直徑作⊙M交AB于點D，過點B作直線l∥AC，與拋物線和⊙M的另一個交點分別是E，F．

（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）求點C的坐標和線段EF的長；

（3）如圖2，連接CD并延長，交直線l于點N，點P，Q為射線NB上的兩個動點（點P在點Q的右側，且不與N重合），線段PQ與EF的長度相等，連接DP，CQ，四邊形CDPQ的周長是否有最小值？若有，請求出此時點P的坐標并直接寫出四邊形CDPQ周長的最小值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=-x2-x+4．（2）2．（3）2+2+2．

【解析】

試題分析：（1）根據點A的坐標和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，從而求得點B的坐標為（0，4），利用待定系數法求得二次函數的解析式即可．

（2）首先根據拋物線的對稱軸求得點A的對稱點C的坐標，然后求得點B的對稱點E的坐標為（-1，4），從而求得BE的長，得到EF的長即可；

（3）作點D關于直線l的對稱點D1（1，6），點C向右平移2個單位得到C1（-1，0），連接C1D1與直線l交于點P，點P向左平移兩個單位得到點Q，四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形．

試題解析：（1）∵點A（2，0），tan∠BAO=2，

∴AO=2，BO=4，

∴點B的坐標為（0，4）．

∵拋物線y=-x2+bx+c過點A，B，

∴，

解得，

∴此拋物線的解析式為y=-x2-x+4．

（2）∵拋物線對稱軸為直線x=-，

∴點A關于對稱軸的對稱點C的坐標為（-3，0），

點B的對稱點E的坐標為（-1，4），

∵BC是⊙M的直徑，

∴點M的坐標為（-，2），

如圖1，過點M作MG⊥FB，則GB=GF，

∵M（-，2），

∴BG=，

∴BF=2BG=3，

∵點E的坐標為（-1，4），

∴BE=1，

∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四邊形CDPQ的周長有最小值．

理由如下：∵BC===5，

AC=CO+OA=3+2=5，

∴AC=BC，

∵BC為⊙M直徑，

∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，

∴D為AB中點，

∴點D的坐標為（1，2）．

如圖2，作點D關于直線l的對稱點D1（1，6），點C向右平移2個單位得到C1（-1，0），連接C1D1與直線l交于點P，點P向左平移2個單位得到點Q，四邊形CDPQ即為周長最小的四邊形．

設直線C1D1的函數表達式為y=mx+n（m≠0），

∴，，

∴直線C1D1的表達式為y=3x+3，

∵yp=4，

∴xp=，

∴點P的坐標為（，4）；

C四邊形CDPQ最小=2+2+2．