Question

如圖，已知：拋物線與坐標軸相交于點A、B、C，頂點D的坐標為D（-1，4），又知C（-4，0）
（1）求此拋物線的解析式．
（2）設直線BD與y軸相交于點E，求線段AE的長．
（3）設P（t，0）是線段CB上的一個動點，用S表示四邊形CPED的面積．試求S關于t的函數關系式，寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用頂點式將頂點D的坐標為D（-1，4），代入解析式進而得出a的值即可；
（2）在中令x=0得：y=，再求出直線BD的解析式求出線段AE的長即可；
（3）首先得出S_△PBE=BP×OE=（2-t）×=-t，又，即可得出四邊形CPED的面積S．
解答：解：（1）∵頂點D的坐標為D（-1，4），
∴設拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4又知拋物線過C（-4，0），
∴0=a（-4+1）²+4，
∴解得：，
∴此拋物線的解析式為．

（2）在中令x=0得：y=，
∴A（0，），∴OA=，
當0=-（x+1）²+4，
解得：x₁=-4，x₂=2，
可求得B（2，0）設直線BD的解析式為y=kx+b，
得，
解得，
故直線BD的解析式為：y=-x+，
∵當x=0，y=，
∴E（0，），
∴線段AE的長=．

（3）如圖，
∵P（t，0）是線段CB上的一個動點，
∴BP=2-t
∴S_△PBE=BP×OE=（2-t）×=-t，
又，
∴四邊形CPED的面積S=（-4＜t＜2）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式等知識，根據直線BD的解析式是解題關鍵．